RANGKUMAN PENYELESAIAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK {a cos x + b sin x = C}

Assalamualaikum, apa kabar semua? semoga kita semua selalu sehat dan tetap semangat dalam belajar. Pada postingan kali ini kita akan membahas cara mencari solusi persamaan trigonometri yang berbentuk a cos x + b sin x = C. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan dua cara yakni dengan dikonversi terlebih dahulu menjadi bentuk k cos (x - α) = C atau k sin (x + β) = C. Untuk lebih memahaminya, berikut kita akan bahas cara menyelesaikan persamaan trigonometri a cos x + b sin x = C menggunakan dua pola tersebut.

Rumus 1
a cos x + b sin x = C dimana k cos (x - α) = C
dengan \(k=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) dan \(\tan \alpha =\frac{b}{a}\)

Rumus 2
a cos x + b sin x = C dimana k sin (x + β) = C
dengan \(k=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) dan \(\tan \beta =\frac{a}{b}\)

Sekarang mari kita coba selesaikan beberapa soal terkait dengan menggunakan kedua cara di atas.
Soal 1
Tentukan solusi dari persamaan \(5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10\) dengan batas \(0^{0}\leq x\leq 360^{0}\).
Penyelesaian cara 1:
Diketahui \(5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10\) dimana a = 5, b = \(\sqrt{75}\) dan C = 10. Maka,
\(k=\sqrt{5^{2}+\left ( \sqrt{75} \right )^{2}}=\sqrt{100}=10\)
\(\tan \alpha =\frac{\sqrt{75}}{5}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{25}}=\sqrt{3}\) diperoleh \(\alpha =\arctan \sqrt{3}=60^{0}\)
Sehingga bentuk k cos (x - α) = C nya :
\(10\cos \left ( x-60^{0} \right )=10\rightarrow \cos \left ( x-60^{0} \right )=1\)
(cos yang bernilai 1 yang memenuhi adalah \(\cos 0^{0}\) dan \(\cos 360^{0}\))

● Untuk \(\cos0^{0}\), maka: $$\cos \left ( x-60^{0} \right )=\cos0^{0}$$ $$\left ( x-60^{0} \right )=0^{0}+k\cdot 360^{0}$$ $$x=60^{0}+k\cdot 360^{0}$$ Untuk k = 0, diperoleh \(x=60^{0}\)
Untuk k = 1, diperoleh \(x=420^{0}\) (tidak memenuhi)

● Untuk \(\cos0^{0}\), maka: $$\cos \left ( x-60^{0} \right )=\cos360^{0}$$ $$\left ( x-60^{0} \right )=360^{0}+k\cdot 360^{0}$$ $$x=420^{0}+k\cdot 360^{0}$$ Untuk k = -1,diperoleh \(x=60^{0}\)
Untuk k = 0, 1, 2, ... tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jadi nilai x yang memenuhi \(5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10\) adalah \(60^{0}\)

Penyelesaian cara 2 :
Diketahui \(5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10\) dimana a = 5, b = \(\sqrt{75}\) dan C = 10, maka
\(k=\sqrt{5^{2}+\left ( \sqrt{75} \right )^{2}}=\sqrt{100}=10\)
\(\tan \beta =\frac{b}{a}=\frac{5}{\sqrt{75}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{75}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), maka \(\beta =\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=30^{0}\)
Sehingga bentuk k sin (x + β) = C nya :
\(10\sin \left ( x+30^{0} \right )=10\)
\(\rightarrow \sin \left ( x+30^{0} \right )=1\)
(sin yang bernilai 1 yang memenuhi adalah \(\sin 90^{0}\))
Maka untuk \(\sin90^{0}\) : $$\sin \left ( x+30^{0} \right )=\sin90^{0}$$ $$x+30^{0}=90^{0}+k\cdot 360^{0}$$ $$x=60^{0}+k\cdot 360^{0}$$ Untuk k = 0, diperoleh \(x = 60^{0}\)
Untuk k = -1, 1, 2 dst (tidak ada nilai x yang memenuhi batas).
Jadi nilai x yang memenuhi \(5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10\) adalah \(60^{0}\)

Kesimpulan :
Setelah menggunakan dua macam cara di atas, diperoleh hasil yang sama yaitu \(x = 60^{0}\)
Next article Next Post
Previous article Previous Post

Leave a Reply to "RANGKUMAN PENYELESAIAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK {a cos x + b sin x = C}"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel