RINGKASAN RUMUS INTEGRAL DAN CONTOH SOAL

Pada postingan kali ini saya akan membagikan kumpulan rumus-rumus integral beserta contoh soal terkait. Seperti yang kita ketahui tidak semua bentuk soal integral dapat diselesaikan dengan cara rumus dasar. Beberapa cara lain dalam menyelesaikan soal integral yakni diantaranya teknik subtitusi dan secara parsial. Untuk lebih jelasnya akan disajikan dalam uraian berikut ini.

A. Rumus Dasar Integral Fungsi Aljabar:

\(\begin{aligned}\int x^{n}\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\end{aligned}\)

Contoh:
\(\begin{aligned} \int 2x^{3}+4x-5\ dx &=\frac{2}{3+1}x^{3+1}+\frac{4}{1+1}x^{1+1}-\frac{5}{0+1}x^{0+1}+C\\ &=\frac{2}{4}x^{4}+\frac{4}{2}x^{2}-\frac{5}{1}x^{1}+C\\ &=\frac{1}{2}x^{4}+2x^{2}-5x+C\\ \end{aligned}\)

B. Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri:

\(\begin{aligned}\int \sin ax\ dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}\int \cos ax\ dx=\frac{1}{a}\sin ax+C\end{aligned}\)

Contoh:
\(\begin{aligned} \int 3\sin 6x\ dx &=-\frac{3}{6}\cos 6x+C\\ &=-\frac{1}{2}\cos 6x+C\\ \end{aligned}\)

C. Integral Tentu:
Misalkan \(f(x)\) suatu fungsi dan \(F(x)\) adalah integral dari \(f(x)\), maka nilai \(F(x)\) pada batas x antara a dan b :

\(\begin{aligned}\int_{a}^{b}f(x)\ dx=\left [F(x)+C \right ]_{a}^{b}=F(a)-F(b)\end{aligned}\)

Contoh:
\(\begin{aligned} \int_{1}^{2}3x^{2}-4\ dx&=\left [ \frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{4}{0+1} x^{0+1}\right ]_{1}^{2}\\ &=\left [ x^{3}-4x\right ]_{1}^{2}\\ &=\left [ 2^{3}-4(2)\right ]-\left [ 1^{3}-4(1)\right ]\\ &=\left [ 8-8\right ]-\left [ 1-4\right ]\\ &=0-(-3)=3\\ \end{aligned}\)

D. Integral Subtitusi:
Misalkan \(F(x)\) dan \(f(x)\) dua fungsi dimana terdapat hubungan yakni turunan pertama dari \(F(x)\) adalah \(nf(x)\), maka penyelesaiannya adalah dengan cara subtitusi dengan rumus sebagai berikut:

\(\begin{aligned}\int f(x)\left ( F(x) \right )^{n}\ dx=\frac{f(x)}{F'(x)}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \left ( F(x) \right )^{n+1}+C\end{aligned}\)

Contoh:
\(\begin{aligned} \int 2x+1\left ( 3x^{2}+3x \right )^{4}\ dx &=\frac{2x+1}{6x+3}\cdot \frac{1}{4+1}\left ( 3x^{2}+3x \right )^{4+1}+C\\ &=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}\left ( 3x^{2}+3x \right )^{5}+C\\ &=\frac{1}{15}\left ( 3x^{2}+3x \right )^{5}+C\\ \end{aligned}\)

E. Integral Parsial:
Rumus pengintegralan dengan teknik parsial (secara bertahap) adalah :

\(\begin{aligned}\int u\ dv=u\cdot v-\int v\ du\end{aligned}\)

Contoh:
\(\begin{aligned} \int 4x\ \sin 2x\ dx\\ \end{aligned}\)
Misalkan \(u=4x\) dan \(dv=\sin 2x\ dx\), maka:
\(du=4\ dx\)
\(v=\int dv=\int \sin 2x\ dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\)
Sehingga:
\(\begin{aligned} u\cdot v-\int v\ du \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =4x\cdot (-\frac{1}{2}\cos 2x)-\int-\frac{1}{2}\cos 2x\cdot 4\ dx \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =-2x\cos 2x+2\int\cos 2x\ dx \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =-2x\cos 2x+\frac{2}{2}\sin 2x+C \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =-2x\cos 2x+\sin 2x+C \end{aligned}\)

Ragam soal dan pembahasan tentang integral lainnya akan dibahas pada postingan selanjutnya.