MENURUNKAN RUMUS ABC (KECAP) PERSAMAAN KUADRAT DAN CONTOH SOAL

Dalam menyelesaikan atau mencari solusi persamaan kuadrat ada beberapa cara yang dapat dilakukan. Cara yang paling umum adalah melalui teknik pemfaktoran. Namun terkadang cara ini sulit atau bahkan tidak bisa dilakukan untuk kasus-kasus tertentu yang sulit dicari pola jumlah dan hasil kalinya. Sehingga penyelesaian persamaan kuadrat bentuk dapat diselesaikan menggunakan rumus abac atau yang sering dikenal oleh siswa sebagai rumus kecap. Nah bagaimana cara menjabarkannya dan penggunaannya dalam soal? yuk simak uraian berikut.

Bentuk umum persamaan kuadrat sebagai berikut:
\(ax^{2}+bx+c=0\) dimana \(a, b, c\ \epsilon \ bilangan riil\) dan \(a\neq 0\).

Nah sekarang bagaimana cara menyederhanakan bentuk umum di atas sehingga tinggal nilai x saja? Uraiannya sebagai berikut.

i) Pindah c ke ruas kanan, kemudian bagi kedua ruas dengan a.
\(\begin{aligned} ax^{2}+bx+c&=0\\ ax^{2}+bx&=-c\\ x^{2}+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\ \end{aligned}\)

ii) Bentuk aljabar ruas kiri jadikan kuadrat sempurna.Kemudian operasikan
\(\begin{aligned} \left ( x+\frac{b}{2a}x \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}&=-\frac{c}{a}\\ \left ( x+\frac{b}{2a}x \right )^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}&=-\frac{c}{a}\\ \left ( x+\frac{b}{2a}x \right )^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\\ \left ( x+\frac{b}{2a}x \right )^{2}&=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\ \end{aligned}\)

iii) Akarkan kedua ruas dan tentukan nilai x nya.
\(\begin{aligned} \left ( x+\frac{b}{2a} \right )&=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )&=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ x&=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \end{aligned}\)

Persamaan terakhir inilah yang disebut sebagai rumus abc atau rumus kecap.
\(\begin{aligned} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{aligned}\)
Berikut kita akan bahas contoh soal mencari akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus kecap/ abc di atas.

Contoh 1.
Diketahui suatu persamaan kuadrat \(x^{2}+4x+2=0\). Tentukan solusinya.
Pembahasan:
Persamaan kuadrat di atas tentunya tidak akan bisa/ sulit kita selesaikan menggunakan cara pemfaktoran. Maka bentuk tersebut akan jauh lebih mudah kita selesaikan menggunakan rumus ABC.
Diketahui: \(x^{2}+4x+2=0\) maka \(a=1\), \(b=4\), dan \(c=2\). Selanjutnya kita subtitusikan ke rumus abc yang sudah kita temukan, sehingga diperoleh:
\(\begin{aligned} x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4(1)(2)}}{2(1)}\\ &=\frac{-4\pm \sqrt{16-8}}{2}\\ &=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ &=-2\pm \sqrt{2}\\ \end{aligned}\)
Maka :
Untuk tanda (+) diperoleh : \(x=-2+\sqrt{2}\)
Untuk tanda (-) diperoleh : \(x=-2-\sqrt{2}\)

Jadi solusi persamaan kuadrat tersebut adalah \(x=-2+\sqrt{2}\) dan \(x=-2-\sqrt{2}\).

Contoh 2.
Tentukan solusi persamaan kuadrat \(2x^{2}-4x-1=0\).
Pembahasan:
Diketahui: \(2x^{2}-4x-1=0\) maka \(a=2\), \(b=-4\), dan \(c=-1\). Selanjutnya kita subtitusikan ke rumus abc, sehingga diperoleh:
\(\begin{aligned} x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(-1)}}{2(2)}\\ &=\frac{4\pm \sqrt{16+8}}{4}\\ &=\frac{4\pm \sqrt{24}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}\\ &=1\pm \frac{1}{2}\sqrt{6}\\ \end{aligned}\)
Maka :
Untuk tanda (+) diperoleh : \(x=1+ \frac{1}{2}\sqrt{6}\)
Untuk tanda (-) diperoleh : \(x=1- \frac{1}{2}\sqrt{6}\)

Jadi solusi persamaan kuadrat tersebut adalah \(x=1+ \frac{1}{2}\sqrt{6}\) dan \(x=1- \frac{1}{2}\sqrt{6}\).

Demikian ulasan terkait cara menemukan rumus abc/ kecap beserta contoh soal yang berkaitan, semoga bermanfaat untuk kita semua.