NOTASI SIGMA (RANGKUMAN MATERI DAN SOAL BAHAS)

Assalamualaikum, apa kabar semua? pada postingan kali ini, kita akan membahas tentang materi Notasi Sigma. Untuk kurikulum 2013 atau K13, notasi sigma masuk ke dalam materi Matematika wajib yang diajarkan di kelas XI SMA. Pada postingan ini akan disajikan rangkuman materi ringkas terkait notasi sigma dan sifat-sifatnya yang disertai soal-soal dan pembahasan. Salah satu yang menjadi kesulitan siswa dalam materi ini barangkali terletak pada penggunaan sifat-sifat notasi sigma dalam membuktikan persamaan-persamaan terkait notasi sigma. Baiklah untuk lebih jelasnya akan dipaparkan pada uraian ringkas berikut.

Definisi.
Notasi Sigma adalah sebuah notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan bilangan. Penjumlahan suku-suku bilangan pada notasi sigma berkaitan erat dengan deret bilangan. Notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.
\(\sum\limits_{i=1}^{n}U_{i}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}\)
Keterangan:
i : batas bawah
n : batas atas
Ui : suku ke-i

Contoh 1 :
\(\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 2i-4 \right )\)
= \(\left ( 2(1)-4 \right )+\left ( 2(2)-4 \right )+\left ( 2(3)-4 \right )+\left ( 2(4)-4 \right )\)
= \(-2+0+2+4\)
= \(4\)

Contoh 2 :
\(\sum\limits_{i=1}^{20}\left ( 4i-5 \right )\)
=\(\left ( 4(1)-5 \right )+\left ( 4(2)-5 \right )+\left ( 4(3)-5 \right )+...+\left ( 4(20)-5 \right )\)
=\(-1+3+7+...+75\)
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, maka:
\(=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )=\frac{20}{2}\left ( U_{1} +U_{20}\right )\)
\(=\frac{20}{2}\left ( -1+75 \right )=740\)

Sifat-Sifat Operasi pada Notasi Sigma
Sama halnya dengan bilangan yang memiliki sifat-sifat operasi, begitu juga dengan notasi sigma. Berikut adalah sifat-sifat operasi pada notasi sigma:
(1) \(\sum\limits_{i=1}^{n}k=n\cdot k\) dengan k suatu konstanta.
(2) \(\sum\limits_{i=1}^{n}k\cdot U_{i}=k\sum\limits_{i=1}^{n}U_{i}\), dengan k suatu konstanta.
(3) \(\sum\limits_{i=1}^{n}\left ( U_{i}\pm V_{i} \right )=\sum\limits_{i=1}^{n}U_{i}\pm \sum\limits_{i=1}^{n}V_{i}\).
(4) \(\sum\limits_{i=1}^{c}U_{i}+\sum\limits_{i=c+1}^{n}U_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}U_{i}\)
(5) \(\sum\limits_{i=1}^{n}U_{i}=\sum\limits_{i=1-p}^{n-p}U_{i+p}=\sum\limits_{i=1+p}^{n+p}U_{i-p}\)
(6) \(\sum\limits_{i=k}^{n}U_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n-k+1}U_{i+k-1}\)

Mari kita coba beberapa soal berikut menggunakan definisi dan sifat-sifat notasi sigma yang sudah diterangkan di atas.

Soal 1.
Buatlah notasi sigma dari penjumlahan bilangan 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26.
Pembahasan:
Deret tersebut adalah deret aritmatika dengan a = 5, b = 3,
Dengan memanfaatkan rumus suku ke-n barisan aritmatika, diperoleh: $$U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$$ $$U_{n}=5+\left ( n-1 \right )3$$ $$U_{n}=3n+2$$ Karena terdapat 8 buah suku, maka batas atas sigma adalah 8. Notasi sigma yang mewakili deret tersebut:
\(\sum\limits_{n=1}^{8}\left ( 3n+2 \right )\) atau dalam i bisa juga ditulis sebagai \(\sum\limits_{i=1}^{8}\left ( 3i+2 \right )\)

Soal 2.
Buktikan bahwa:
\(\sum\limits_{n=1}^{9}\left ( 2n-3 \right )=3\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n+3 \right )\)
Pembahasan:
Bukti dari kiri \(\sum\limits_{n=1}^{9}\left ( 2n-3 \right )\)
= \(\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n-3 \right )+\sum\limits_{n=4}^{6}\left ( 2n-3 \right )+\sum\limits_{n=7}^{9}\left ( 2n-3 \right )\)
= \(\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n-3 \right )+\sum\limits_{n=4-3}^{6-3}\left ( 2(n+3)-3 \right )+\sum\limits_{n=7-6}^{9-6}\left ( 2(n+6)-3 \right )\)
= \(\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n-3 \right )+\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n+3 \right )+\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n+9 \right )\)
= \(\sum\limits_{n=1}^{3}2n-3+2n+3+2n+9\)
= \(\sum\limits_{n=1}^{3}6n+9\)
= \(\sum\limits_{n=1}^{3}3\left ( 2n+3 \right )\)
= \(3\sum\limits_{n=1}^{3}\left ( 2n+3 \right )\) (terbukti)

Soal 3.
Buktikan bahwa \(\sum\limits_{i=1}^{8}\left ( 2i-1 \right )=\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 4i+6 \right )\)
Pembahasan:
Bukti dari kiri \(\sum\limits_{i=1}^{8}\left ( 2i-1 \right )\)
= \(\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 2i-1 \right )+\sum\limits_{i=5}^{8}\left ( 2i-1 \right )\)
= \(\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 2i-1 \right )+\sum\limits_{i=1}^{8-5+1}\left ( 2(i+5-1)-1 \right )\)
= \(\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 2i-1 \right )+\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 2i+7 \right )\)
= \(\sum\limits_{i=1}^{4}\left ( 4i+6 \right )\) (terbukti).

Soal 4.
Hitunglah hasil dari \(\sum\limits_{k=1}^{4}\left ( 3k^{2}+4k \right )\).
Pembahasan:
\(\sum\limits_{k=1}^{4}\left ( 3k^{2}+4k \right )\)
= \(\left ( 3(1)^{2} +4(1)\right )+\left ( 3(2)^{2} +4(2)\right )+\left ( 3(3)^{2} +4(3)\right )+\left ( 3(4)^{2} +4(4)\right )\)
= \(\left ( 3 +4\right )+\left ( 12 +8\right )+\left ( 27 +12\right )+\left ( 48 +16\right )\)
= \(7+20+39+64\)
= \(130\)

Soal 5.
Buatlah notasi sigma dari deret bilangan 3 - 5 + 7 - 9 + 11 - 13.
Pembahasan:
Pertama, abaikan tanda negatifnya. Sehingga kita akan mencari rumus suku ke-n dari deret 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Dengan menggunakan rumus suku-n barisan aritmatika,
\(U_{n}=3+\left ( n-1 \right )\cdot 2=2n+1\).
Perhatikan 3 - 5 + 7 - 9 + 11 - 13 dimana tanda (+) dan (-) selang seling, suku ganjil (+) dan suku genap (-), maka supaya berlaku kondisi tersebut tinggal kita kali dengan \(\left ( -1 \right )^{n+1}\).
Maka notasi sigma yang mewakili penjumlahan deret tersebut :
\(\sum\limits_{n=1}^{6}\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \left ( 2n+1 \right )\) atau bisa juga ditulisakan \(\sum\limits_{i=1}^{6}\left ( -1 \right )^{i+1}\cdot \left ( 2i+1 \right )\)

Demikian penjelasan tentang notasi sigma dan sifat-sifatnya serta pembahasan beberapa contoh soal terkait notasi sigma. Semoga bermanfaat.