PEMBAHASAN UKMPPG UP MATEMATIKA JANUARI 2019 + SOAL KOMPETENSI KEPRIBADIAN

Assalamualaikum, apa kabar semua? Semoga kita semua dalam keadaan sehat dan selalu semangat dalam belajar. Apakah ada diantara bapak/ibu...

INDUKSI MATEMATIKA (RANGKUMAN DAN SOAL BAHAS PEMBUKTIAN)

NDUKSI MATEMATIKA (RANGKUMAN DAN SOAL BAHAS PEMBUKTIAN)

Assalamualaikum. Apa kabar semua? semoga selalu dalam keadaan sehat walafiat dan tetap semangat dalam belajar. Postingan kali ini akan membahas tentang materi Matematika wajib kelas XI yakni induksi matematika. Sesuai dengan silabus K13, materi ini diajarkan pada semester 1. Salah satu alasan saya membahas materi ini adalah karena soal-soal induksi matematika erat kaitannya dengan pembuktian-pembuktian rumus atau pernyataan yang mana bagi hampir sebagian besar anak-anak tidak menyukainya. Urian yang disajikan berbentuk rangkuman singkat yang dilengkapi dengan contoh-contoh soal pembuktian dan pembahasannya. Baiklah langsung saja ya kita bahas pada uraian berikut.

Definisi
Induksi matematika adalah metode/ cara pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan didasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli. 

Langkah-langkah pembuktian menggunakan induksi matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang bergantung pada n. P(n) benar untuk setiap n bilangan asli jika memenuhi 2 kondisi berikut :
1). P(1) benar, artinya untuk n = 1 maka P(n) bernilai benar.
2). Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.


Soal 1.
Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.
Pembahasan :
(1) Untuk n = 1,  maka :
2 = 1(1 + 1)
2 = 2  (benar)

(2) Asumsi benar untuk n = k, maka :
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1).


(3) Akan dibuktikan benar juga untuk n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) ((k + 1) + 1)
Bukti :
Dari kiri :  2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1)
= 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1)
k(k + 1) + 2(k + 1)
= (k + 2) (k + 1)
= (k + 1) ((k + 1) + 1)   (terbukti)

Soal 2.
Buktikan bahwa penjumlahan n bilangan asli berurutan berlaku:
\(1+2+3+4+5+...+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}\).
Pembahasan:
(1) untuk n = 1, maka:
     1 =\(\frac{1\left ( 1+1 \right )}{2}\)
     1 = 1 (benar)

(2) Asumsi benar untuk n = k, maka berlaku:
\(1+2+3+4+5+...+k=\frac{k\left ( k+1 \right )}{2}\)

(3) Akan dibuktikan benar juga untuk n = k+1.
\(1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )}{2}\)
Bukti dari kiri :
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)
= \(\frac{k(k+1)}{2}+\left ( k+1 \right )\)
= \(\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}\)
= \(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\)= \(\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\) (terbukti)

Soal 3.
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku \(n^{3}+2n\) habis dibagi 3.
Pembahasan:
(1) untuk n = 1, maka :
\(1^{3}+2(1)=3\) habis dibagi 3 (benar).

(2) Asumsikan benar untuk n = k, maka berlaku:
\(k^{3}+2k\) habis dibagi 3. Misalkan \(k^{3}+2k=3a\) dengan a suatu bilangan asli.

(3) Akan dibuktikan benar juga untuk n = k + 1.
Bukti:
\(\left (k+1 \right )^{3}+2\left ( k+1 \right )\)
= \(k^{3}+3k^{2}+3k+1+2k+2\)
= \(\left (k^{3}+2k \right )+3k^{2}+3k+3\)
= \(3a+3\left (k^{2}+k+1 \right )\)
= \(3\left (a+k^{2}+k+1 \right )\) habis dibagi 3 (terbukti)

Soal 4.
Buktikan untuk setiap bilangan asli \(n\geq 4\) berlaku \(3n< 2^{n}\).
Pembahasan:
(1) Untuk n = 4 (sebab \(n\geq 4\)), maka:
\(3(4)< 2^{4}\rightarrow 12<16\) (benar)

(2) Asumsi benar untuk n = k (dengan \(k\geq 4\)), berlaku:
\(3k< 2^{k}\)

(3) Akan dibuktikan benar juga untuk n = k + 1, dengan \(k\geq 4\), dimana:
\(3(k+1)< 2^{k+1}\)
Bukti:
\(3(k+1)=3k+3\)
\(<2^{k}+3\)
\(<2^{k}+3k\)
\(<2^{k}+2^{k}\)
\(<2\cdot 2^{k}\)
\(<2^{k+1}\) (terbukti)

Demikianlah uraian tentang induksi matematika dan contoh-contoh soal pembuktian menggunakan metode induksi matematika. Semoga bermanfaat dan salam sukses untuk semuanya.
Next article Next Post
Previous article Previous Post

Leave a Reply to "INDUKSI MATEMATIKA (RANGKUMAN DAN SOAL BAHAS PEMBUKTIAN)"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel