DOWNLOAD LATIHAN SOAL STANDAR OLIMPIADE MATEMATIKA SMA DAN PEMBAHASAN

Assalamualaikum war wab, apa kabar semua? semoga kita semua selalu dalam keadaan sehat dan tetap semangat dalam belajar dan berbagi ilmu. Pada kesempatan ini, saya ingin membagikan beberapa soal standar olimpiade matematika SMA yang dapat langsung adik-adik pelajari pada postingan ini dan juga dapat didownload file berekstensi pdf nya pada akhir postingan. Soal-soal ini dapat adik-adik jadikan bahan latihan tambahan untuk mempersiapkan diri mengikuti olimpiade tingkat SMA.

Berikut beberapa standar soal olimpiade matematika SMA dan pembahasannya.

Soal 1.
Jika bilangan lima angka 1x2y8 habis dibagi 12. Tentukan nilai dari x + y dimana masing-masing dari x dan y adalah kemungkinan nilai terbesar.
Pembahasan:
\(12\mid 1x2yb\Rightarrow 4\mid 1x2yb\) dan \(3\mid 1x2yb\)
● Untuk \(4\mid 1x2yb\)
Ini berarti dua digit terakhir yakni \(y8\) habis dibagi 4. Maka nilai \(y\) yang mungkin adalah \(2,4,6,8\). Karena yang diminta adalah kemungkinan terbesar, maka nilai \(y\) yang memenuhi adalah \(y=8\).
● Untuk \(3\mid 1x2yb\)
Ini berarti jumlah digit-digit dari \(1x2y8\) habis dibagi 3. Pada penyelesaian sebelumnya kita sudah dapatkan nilai y = 8. Cek: \(1+x+2+8+8=19+x\) habis dibagi 3. Nilai x yang mungkin adalah 2, 5, dan 8. Karena yang diminta kemungkinan terbesar, maka \(x=8\).
Jadi, nilai \(x+y=8+8=16\).

Soal 2.
Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2, tentukan bilangan tersebut.
Pembahasan:
Misalkan bilangan tersebut adalah \(ab\), maka:
\(10a+b=4(a+b)\) diperoleh \(2a=b\)
Karena \(b-a=2\) maka \(2a-a=2\rightarrow a=2\) dan \(b=2a=2(2)=4\).
Jadi bilangan tersebut adalah 24.

Soal 3.
Banyaknya bilangan bulat n sehingga \(\frac{10n^{2}-55}{2n^{2}+3}\) merupakan bilangan bulat.
Pembahasan:
\(\frac{10n^{2}-55}{2n^{2}+3}=\frac{5(2n^{2}+3)-70}{2n^{2}+3}=5-\frac{70}{2n^{2}+3}\)
Agar \(\frac{70}{2n^{2}+3}\) bilangan bulat, maka \(2n^{2}+3\) adalah faktor dari 70 yakni \(1,2,5,7,10,14,35,70\). Setelah dicek:
\(2n^{2}+3=1\), tidak ada nilai n yang menghasilkan bilangan bulat. Begitupula untuk \(2,7,10,14,70\) tidak menghasilkan n bilangan bulat.
● Untuk \(2n^{2}+3=5\)
Diperoleh nilai \(n=-1\) dan \(n=1\)
● Untuk \(2n^{2}+3=35\)
Diperoleh nilai \(n=-4\) dan \(n=4\)
Jadi banyak bilangan bulat n yang memenuhi adalah 4.

Soal 4.
D(M) didefinisikan sebagai banyaknya faktor dari M, dengan M anggota bilangan bulat positif. Contohnya, M = 8. Faktor-faktor dari 8 adalah 1,2,4, dan 8. Sehingga D(8) = 4. Jika M = 10.800, maka tentukanlah D(10.800).
Pembahasan:
\(M=10.800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\).
Berdasarkan teorema faktor positif, maka:
\(D(10.800)=D(2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2})\)
\(=\left ( 4+1 \right )\left ( 3+1 \right )\left ( 2+1 \right )=5\cdot 4\cdot 3=60\)

Soal 5.
Hasil dari \(\frac{3^{2010}-3^{2008}+120}{9^{1004}+15}\) adalah ...
Pembahasan:
\(\frac{3^{2010}-3^{2008}+120}{9^{1004}+15}=\frac{3^{2}3^{2008}-3^{2008}+120}{3^{2(1004)}+15}\)
\(=\frac{9(3^{2008}+15)-(3^{2008}+15)}{3^{2008}+15}=\frac{9-1}{1}=8\)

Soal 6.
Tentukan jumlah digit-digit dari \(25^{1005}\cdot 8^{670}\cdot 3^{2}\). Pembahasan:
\(25^{1005}\cdot 8^{670}\cdot 3^{2}=\left ( 5^{2} \right )^{1005}\cdot \left ( 2^{3} \right )^{670}\cdot 9\)\(=5^{2010}\cdot 2^{2010}\cdot 9=10^{2010}\cdot 9\)
Perhatikan pola berikut:
\(10^{1}=10\) jumlah digitnya : 1 + 0 = 1
\(10^{2}=100\) jumlah digitnya : 1 + 0 + 0 = 1
\(10^{3}=1000\) jumlah digitnya : 1 + 0 + 0 + 0 = 1 dst
Sehingga \(10^{2010}\) memiliki jumlah digit 1, dan \(10^{2010}\cdot 9\) akan mengubah angka 1 di depan menjadi 9, sehingga jumlah digitnya adalah 9.

Soal 7.
Tentukan pasangan x dan y bulat positif yang memenuhi persamaan \(7x+5y=100\).
Pembahasan:
FPB(7, 5) = 1.
\(7x+5y=100\), untuk \(x=0\) maka \(7(0)+5y=100\rightarrow y=100/5=20\).
Dengan mengambil solusi awal \(x_{0}=0\) dan \(y_{0}=20\), berdasarkan teorema diophantine diperoleh solusi umum:
\(x=x_{0}+\frac{5}{FPB(7,5)}k=0+\frac{5}{1}k=5k\)
\(y=y_{0}-\frac{7}{FPB(7,5)}k=20+\frac{7}{1}k\)
Karena yang diminta adalah x dan y bulat positif, maka :
\(5k>0\rightarrow k>0\) ... (i)
\(20-7k>0\rightarrow k<\frac{20}{7}\) ... (ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh: k = 1 dan k = 2.
Untuk \(k=1\):
\(x=5(1)=5\) dan \(y=20-7(1)=13\).
Untuk \(k=2\):
\(x=5(2)=10\) dan \(y=20-7(2)=6\).
Jadi pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi adalah \((5,13)\) dan \((10.6)\).

Untuk soal dan pembahasan yang lebih banyak dan lengkap dapat diunduh dalam bentuk pdf pada link yang ada di bawah. Berikut preview latihan soal dan pembahasan olimpiade matematika SMA yang dapat diunduh nantinya.

Berikut link download soal dan pembahasan latihan olimpiade Matematika SMA.
Soal Latihan Olimpiade (.pdf)

Apabila link download rusak atau kesulitan dalam mengunduh filenya harap beritahu melalui komentar atau email melalui contact form yang tersedia di blog ini ya.

Demikian postingan kali ini tentang latihan soal dan pembahasan olimpiade matematika SMA, semoga bermanfaat dan dapat menjadi tambahan sumber belajar alternatif bagi adik-adik semua. Salam sukses.